Стандартная ошибка

1. Стандартная ошибка среднего [ редактировать ]
2. Оценить [ редактировать ]
3. Образец [ редактировать ]
4. Производные [ редактировать ]
5. Приближение студента, когда значение σ неизвестно [ редактировать ]
6. Допущения и использование [ редактировать ]
7. Стандартная ошибка среднего и стандартного отклонения [ редактировать ]
8. Поправка для конечного населения [ редактировать ]
9. Поправка на корреляцию в выборке [ редактировать ]
10. Относительная стандартная ошибка [ редактировать ]
11. Смотрите также [ редактировать ]

Стандартная ошибка ( SE ) статистика (обычно оценка параметр ) это стандартное отклонение его выборочное распределение [1] или оценка этого стандартного отклонения. Если параметр или статистика является средним значением, это называется стандартной ошибкой среднего ( SEM ).

выборочное распределение средней популяции генерируется путем повторной выборки и регистрации полученных средств. Это формирует распределение различных средств, и это распределение имеет свои имею в виду а также дисперсия , Математически дисперсия полученного распределения выборки равна дисперсии совокупности, деленной на размер выборки. Это связано с тем, что с увеличением размера выборки выборка означает, что кластер ближе к среднему значению совокупности.

Следовательно, связь между стандартной ошибкой и стандартным отклонением такова, что для данного размера выборки стандартная ошибка равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень размера выборки. Другими словами, стандартная ошибка среднего является мерой дисперсии средних выборки вокруг среднего значения популяции.

В регрессивный анализ термин «стандартная ошибка» относится либо к квадратному корню из уменьшенная статистика хи-квадрат или стандартная ошибка для конкретного коэффициента регрессии (как используется, например, в доверительные интервалы ).

Стандартная ошибка среднего [ редактировать ]

Население [ редактировать ]

Стандартная ошибка среднего (SEM) может быть выражена как:

σ x ¯ = σ n {\ displaystyle {\ sigma} _ {\ bar {x}} \ = {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}}}

где

σ

является стандартное отклонение населения. n - размер (количество наблюдений) выборки.

Оценить [ редактировать ]

Поскольку стандартное отклонение населения редко известна, стандартная ошибка среднего обычно оценивается как стандартное отклонение образца делится на квадратный корень размера выборки (при условии статистической независимости значений в выборке).

σ x ¯ ≈ s n {\ displaystyle {\ sigma} _ {\ \ bar {x}} \ \ ок {\ frac {s} {\ sqrt {n}}}}}

где

s

это стандартное отклонение образца (т. е. основанная на выборке оценка стандартного отклонения совокупности), а n - размер (число наблюдений) выборки.

Образец [ редактировать ]

В тех контекстах, где стандартная ошибка среднего определяется не как стандартное отклонение среднего значения выборки, а как его оценка, это оценка, как правило, дается как ее значение. Таким образом, обычно можно увидеть стандартное отклонение среднего значения, альтернативно определяемого как:

s x ¯ = s n {\ displaystyle {\ text {s}} _ {\ bar {x}} \ = {\ frac {s} {\ sqrt {n}}}}

Стандартное отклонение среднего значения выборки эквивалентно стандартному отклонению ошибки среднего значения выборки по отношению к истинному среднему значению, поскольку среднее значение выборки является объективной оценкой. Поэтому стандартную ошибку среднего можно также понимать как стандартное отклонение ошибки в среднем по выборке относительно истинного среднего (или оценки этой статистики).

Примечание: стандартная ошибка и стандартное отклонение малых выборок имеют тенденцию систематически недооценивать стандартную ошибку популяции и стандартное отклонение: стандартная ошибка среднего предвзятая оценка стандартная ошибка населения. При n = 2 недооценка составляет около 25%, но при n = 6 недооценка составляет всего 5%. Гурланд и Трипати (1971) предлагают поправку и уравнение для этого эффекта. [2] Сокал и Рольф (1981) дают уравнение поправочного коэффициента для малых выборок n <20. [3] Увидеть объективная оценка стандартного отклонения для дальнейшего обсуждения.

Практический результат: уменьшение неопределенности в оценке среднего значения в два раза требует получения в четыре раза больше наблюдений в выборке. Или уменьшение стандартной ошибки в десять раз требует в сто раз больше наблюдений.

Производные [ редактировать ]

Формула может быть получена из дисперсия суммы независимых случайных величин. [4]

Приближение студента, когда значение σ неизвестно [ редактировать ]

Во многих практических приложениях истинное значение σ неизвестно. В результате нам нужно использовать распределение, которое учитывает этот разброс возможных σ . Когда известно, что истинное базовое распределение является гауссовским, хотя с неизвестным σ, полученное в результате расчетное распределение следует t-распределению Стьюдента. Стандартная ошибка - стандартное отклонение t-распределения Стьюдента. Т-распределения немного отличаются от гауссовых и варьируются в зависимости от размера выборки. Небольшие выборки с большей вероятностью недооценивают стандартное отклонение популяции и имеют среднее значение, отличное от истинного среднего значения популяции, а t-распределение Стьюдента учитывает вероятность этих событий с несколько более тяжелыми хвостами по сравнению с гауссианой. Чтобы оценить стандартную ошибку t-распределения Стьюдента, достаточно использовать выборочное стандартное отклонение «s» вместо σ , и мы можем использовать это значение для вычисления доверительных интервалов.

Примечание: Распределение вероятностей студента очень хорошо аппроксимируется распределением Гаусса, когда размер выборки превышает 100. Для таких выборок можно использовать последнее распределение, которое намного проще.

Допущения и использование [ редактировать ]

Пример использования SE для определения доверительных интервалов неизвестного среднего значения. Если распределение выборки нормально распределенный среднее значение выборки, стандартная ошибка и квантили нормального распределения можно использовать для расчета доверительных интервалов для истинного среднего значения населения. Следующие выражения могут быть использованы для вычисления верхнего и нижнего 95% доверительных интервалов, где x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}} равно среднему значению выборки, S E {\ displaystyle SE} равно стандартной ошибке для среднего значения выборки, и 1,96 квантиль 0,975 от нормального распределения:

Верхний предел 95% = x ¯ + (SE × 1,96), {\ displaystyle = {\ bar {x}} + ({\ text {SE}} \ times 1.96),} и нижний предел 95% = x ¯ - (SE × 1,96). {\ displaystyle = {\ bar {x}} - ({\ text {SE}} \ times 1.96).}

В частности, стандартная ошибка образец статистики (такие как выборочное среднее ) является фактическим или предполагаемым стандартным отклонением ошибки в процессе, с помощью которого она была сгенерирована. Другими словами, это фактическое или предполагаемое стандартное отклонение выборочное распределение образца статистики. Обозначение стандартной ошибки может быть любым из SE, SEM (для стандартной ошибки измерения или среднего значения ) или SE.

Стандартные ошибки обеспечивают простые меры неопределенности в значении и часто используются, потому что:

Стандартная ошибка среднего и стандартного отклонения [ редактировать ]

В научно-технической литературе экспериментальные данные часто обобщаются либо с использованием среднего значения и стандартного отклонения данных выборки, либо среднего значения со стандартной ошибкой. Это часто приводит к путанице относительно их взаимозаменяемости. Тем не менее, среднее и стандартное отклонение описательная статистика в то время как стандартная ошибка среднего значения описывает процесс случайной выборки. Стандартное отклонение данных выборки представляет собой описание вариаций в измерениях, в то время как стандартная ошибка среднего значения является вероятностным утверждением о том, как размер выборки обеспечит лучшую оценку оценок среднего по населению в свете центрального предела. теорема. [5]

Проще говоря, стандартная ошибка среднего значения выборки - это оценка того, насколько далеко среднее значение выборки, вероятно, от среднего значения популяции, тогда как стандартное отклонение выборки - это степень, в которой отдельные лица в выборке отличаются от среднего значения выборки. Если стандартное отклонение популяции конечно, стандартная ошибка среднего значения выборки будет стремиться к нулю при увеличении размера выборки, потому что оценка среднего значения популяции улучшится, в то время как стандартное отклонение выборки будет стремиться приблизиться к стандарту популяции. отклонение при увеличении размера выборки.

Поправка для конечного населения [ редактировать ]

Формула, приведенная выше для стандартной ошибки, предполагает, что размер выборки намного меньше размера популяции, так что популяция может считаться практически бесконечной по размеру. Это обычно имеет место даже с конечным населением, потому что большую часть времени люди в первую очередь заинтересованы в управлении процессами, которые создали существующее конечное население; это называется аналитическое исследование после У. Эдвардс Деминг , Если люди заинтересованы в управлении существующим конечным населением, которое не изменится с течением времени, тогда необходимо скорректировать численность населения; это называется перечислительное исследование ,

Когда фракция выборки большой (примерно на 5% или более) в перечислительное исследование оценка стандартной ошибки должна быть исправлена ​​путем умножения на «поправку на конечную совокупность»: [6] [7]

FPC = N - n N - 1 {\ displaystyle {\ text {FPC}} = {\ sqrt {\ frac {Nn} {N-1}}}}

который для большого N :

FPC ≈ 1 - n N {\ displaystyle {\ text {FPC}} \ ок {{sqrt {1 - {\ frac {n} {N}}}}}

чтобы учесть дополнительную точность, полученную от выборки, близкой к большему проценту населения. Эффект FPC состоит в том, что ошибка становится равной нулю, когда размер выборки n равен размеру совокупности N.

Поправка на корреляцию в выборке [ редактировать ]

Если значения измеренной величины A не являются статистически независимыми, но были получены из известных местоположений в пространстве параметров x , можно получить несмещенную оценку истинной стандартной ошибки среднего (фактически, поправку для части стандартного отклонения) путем умножения Рассчитывается стандартная ошибка выборки по коэффициенту f :

f = 1 + ρ 1 - ρ, {\ displaystyle f = {\ sqrt {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}},}

где коэффициент смещения образца ρ является широко используемым Оценка Прейса – Винстена из автокорреляция коэффициент (величина между -1 и +1) для всех пар точек выборки. Эта приблизительная формула для средних и больших размеров выборки; ссылка дает точные формулы для любого размера выборки и может применяться к сильно коррелированным временным рядам, таким как котировки акций Уолл-стрит. Более того, эта формула работает как для положительного, так и для отрицательного ρ. [8] Смотрите также объективная оценка стандартного отклонения для дальнейшего обсуждения.

Относительная стандартная ошибка [ редактировать ]

Относительная стандартная ошибка среднего значения выборки - это стандартная ошибка, разделенная на среднее значение и выраженная в процентах. Его можно рассчитать только в том случае, если среднее значение является ненулевым значением.

В качестве примера использования относительной стандартной ошибки рассмотрим два обследования доходов домашних хозяйств, которые в результате выборки дают среднее значение в размере 50 000 долларов США. Если в одном опросе стандартная ошибка составляет 10 000 долларов, а в другом - 5 000 долларов, то относительные стандартные ошибки составляют соответственно 20% и 10%. Можно сказать, что обследование с более низкой относительной стандартной ошибкой имеет более точное измерение, поскольку оно пропорционально меньше отклонений выборки от среднего значения. На самом деле организации данных часто устанавливают стандарты надежности, которых их данные должны достичь перед публикацией. Например, Национальный центр статистики здравоохранения США обычно не сообщает приблизительное среднее значение, если его относительная стандартная ошибка превышает 30%. (NCHS также обычно требует, по крайней мере, 30 наблюдений - если не больше - для оценки, которая будет представлена.) [9]

Смотрите также [ редактировать ]

Рекомендации [ редактировать ]

1. ^ Эверитт, Б.С. (2003). Кембриджский словарь статистики . КРУЖКА. ISBN 978-0-521-81099-9 ,
2. ^ Гурланд, Дж .; Tripathi RC (1971). «Простое приближение для объективной оценки стандартного отклонения». Американский статистик . 25 (4): 30–32. дои : 10,2307 / 2682923 , JSTOR 2682923 ,
3. ^ Сокаль; Рольф (1981). Биометрия: принципы и практика статистики в биологических исследованиях (2-е изд.). п. 53. ISBN 978-0-7167-1254-1 ,
4. ^ Хатчинсон Т.П. Основы статистических методов, в 41 с . Аделаида: Рамсби. ISBN 978-0-646-12621-0 ,
5. ^ Барде, М. (2012). «Что использовать для выражения изменчивости данных: стандартное отклонение или стандартная ошибка среднего?» , Perspect. Clin. Местожительство 3 (3): 113–116. дои : 10,4103 / 2229-3485.100662 , PMC 3487226 , PMID 23125963 ,
6. ^ Иссерлис Л. (1918). «О значении среднего значения, рассчитанном по образцу». Журнал Королевского статистического общества , 81 (1): 75–81. дои : 10,2307 / 2340569 , JSTOR 2340569 , (Уравнение 1)
7. ^ Бонди, Уоррен; Злот, Уильям (1976). «Стандартная ошибка среднего и разности средних для конечных групп». Американский статистик , 30 (2): 96–97. JSTOR 2683803 , (Уравнение 2)
8. ^ Бенс, Джеймс Р. (1995). «Анализ коротких временных рядов: поправка на автокорреляцию». экология , 76 (2): 628–639. дои : 10,2307 / 1941218 , JSTOR 1941218 ,
9. ^ Кляйн, RJ. «Критерии подавления данных« Здоровые люди 2010 »» , Статистические заметки (24).

Похожие

Комментарии