- 1. Szukaj funkcji ekstremum Zadania znalezienia ekstremum funkcji oznaczają znalezienie jej maksymalnej...
- 3. Ekstremalne warunkowe
- 4. Ekstremalna funkcja wielu zmiennych.
1. Szukaj funkcji ekstremum
Zadania znalezienia ekstremum funkcji oznaczają znalezienie jej maksymalnej (najwyższej wartości) lub minimalnej (najniższej wartości) w pewnym obszarze definicji jej argumentów. Ograniczenia wartości argumentów definiujących ten region, jak również inne dodatkowe warunki, muszą być zdefiniowane jako system nierówności i / lub równań. W tym przypadku mówimy o problemie ekstremum warunkowego.
Aby rozwiązać problemy ze znalezieniem maksimum i minimum, Mathcad ma wbudowane funkcje Minerr, Minimize i Maximize. Wszystkie używają tych samych metod numerycznych gradientu co funkcja Znajdź do rozwiązywania równań.
2. Ekstremum funkcji pojedynczej zmiennej
Poszukiwanie ekstremum funkcji obejmuje zadanie znalezienia ekstremum lokalnego i globalnego. Te ostatnie nazywane są również problemami optymalizacji. Rozważmy konkretny przykład funkcji f (x), pokazany na wykresie na rys. 2 w przedziale (-2,5). Ma globalne maksimum przy lewej krawędzi przedziału, globalne minimum, lokalne maksimum, lokalne minimum i lokalne maksimum przy prawej krawędzi przedziału (w kolejności od lewej do prawej).
W Mathcad, używając wbudowanych funkcji, rozwiązywany jest tylko problem znalezienia ekstremum lokalnego. Aby znaleźć globalne maksimum (lub minimum), musisz najpierw obliczyć wszystkie ich wartości lokalne, a następnie wybrać największy (najmniejszy) z nich lub wyświetlić podgląd rozważanego obszaru z pewnym krokiem, aby wybrać z niego największe (najmniejsze) wartości funkcji i wyszukać ekstremum globalne, już w jego sąsiedztwie. Ta druga ścieżka obarczona jest pewnym niebezpieczeństwem wejścia w strefę innego lokalnego ekstremum, ale często może być korzystniejsza ze względu na czas.
Rys. 1. Wykres funkcji f (x) = x4 + 5x3-10x
Zbuduj wykres danej funkcji (rys. 1). Grafika pokazuje obszary lokalnych ekstremów funkcji.
Aby szukać ekstremów lokalnych, istnieją dwie wbudowane funkcje, które mogą być używane zarówno w jednostce obliczeniowej, jak i autonomicznie.
· Minimalizuj (f, x1, ..., hm) - wektor wartości argumentów, przy których funkcja f osiąga swoje minimum;
· Maksymalizuj (f, x1, ..., hm) - wektor wartości argumentów, przy których funkcja f osiąga maksimum;
f (x1, ..., hm, ...) jest funkcją;
x1, ..., xm to argumenty, według których przeprowadzana jest minimalizacja (maksymalizacja).
Wszystkie argumenty funkcji f powinny być najpierw przypisane do pewnych wartości, a dla tych zmiennych, które są zminimalizowane, będą postrzegane jako wstępne przybliżenia. Przykłady obliczania ekstremum funkcji jednej zmiennej (rys. 1) bez dodatkowych warunków pokazano na liście na rys. 2. Ponieważ nie wprowadzono w nich żadnych dodatkowych warunków, wyszukiwanie ekstremów jest wykonywane dla dowolnych wartości.
Rys.2. Wyszukaj lokalne ekstremum funkcji pojedynczej zmiennej
Jak widać na liście, wybór wstępnego przybliżenia ma znaczący wpływ na wynik, w zależności od tego, które lokalne ekstremum podano jako odpowiedź. W tym drugim przypadku metoda numeryczna w ogóle nie radzi sobie z zadaniem, ponieważ przybliżenie początkowe x = -10 jest wybierane daleko od lokalnego regionu maksymalnego, a poszukiwanie rozwiązania idzie w górę, gdy f (x) wzrasta.
3. Ekstremalne warunkowe
W zadaniach na ekstremum warunkowym funkcje minimalizacji i maksymalizacji powinny być zawarte w bloku obliczeniowym, to znaczy muszą być poprzedzone słowem kluczowym Given . W przedziale między funkcją Given i funkcją wyszukiwania ekstremum za pomocą operatorów boolowskich zapisywane są wyrażenia logiczne (nierówności, równania), ustawiające ograniczenia wartości argumentów funkcji zminimalizowanej. Rysunek 3 pokazuje przykłady znalezienia warunkowego ekstremum w różnych odstępach czasu określonych nierównościami. Porównaj wyniki tego wpisu z poprzednimi dwoma.
Rys. 3. Trzy przykłady wyszukiwania ekstremum warunkowego funkcji
Nie zapominaj o znaczeniu wyboru prawidłowego wstępnego przybliżenia w przypadku problemów na ekstremum warunkowym. Na przykład, jeśli zamiast warunku - 3 <x <0 w ostatnim przykładzie aukcji, określisz -5 <x <0 , to przy tym samym początku x = -10 zostanie znaleziona maksymalna Maksymalizacja (f, x) = -0,944 , co jest błędne, ponieważ maksymalna wartość jest osiągana przez funkcję f (x) na lewej granicy przedziału przy x = -5. Wybór początkowej aproksymacji x = -4 rozwiązuje problem poprawnie, dając jako wynik Maximize (f, x) = -5 .
4. Ekstremalna funkcja wielu zmiennych.
Obliczenie ekstremum funkcji kilku zmiennych nie ma żadnych podstawowych cech szczególnych w porównaniu z funkcjami jednej zmiennej. Dlatego ograniczamy się do przykładu (rys. 4) znajdowania minimum funkcji pokazanej w postaci wykresu powierzchni trójwymiarowej (rys. 4).
Rys. 4. Minimalna funkcja dwóch zmiennych
Wyszukiwanie minimum można zorganizować za pomocą funkcji Minerr . Aby to zrobić, na liście (rys. 4) należy zmienić nazwę funkcji Minimize na Minerr , a po słowie kluczowym Given dodaj wyrażenie, które zrówna funkcję f (x, y) z wartością mniejszą niż minimum, na przykład f (x, y) = 0 .
Pobierz przykład